Question

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（x）≠0，当x＜0时f′（x）g（x）＞f（x）g′（x

设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且g（x）≠0，当x＜0时f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），且f（-3）=0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是______．

Answer 1

∵f（x）和g（x）（g（x）≠0）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，
∴f（-x）=-f（x）   g（-x）=g（x）
∵当x＜0时，f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），∴f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＞0
当x＜0时，[

f(x)

g(x)

]′=

f′(x)g(x)?f(x)g′(x)

g2(x)

＞0，
令h（x）=

f(x)

g(x)

，则h（x）在（-∞，0）上单调递增，
∵h（-x）=

f(?x)

g(?x)

＝

?f(x)

g(x)

＝?h(x)，
∴h（x）为奇函数，
根据奇函数的性质可得函数h（x）在（0，+∞）单调递增，
∵f（-3）=-f（3）=0，∴h（-3）=-h（3）=0
h（x）＜0的范围为（-∞，-3）∪（0，3）
故答案为：（-∞，-3）∪（0，3）