Question

【高数凹凸性和极值问题】求函数的极值和凹凸性，题见下图。谢谢

Answer 1

x=0时，有极小值0；

x=8/27时，有极大值4/27。

凸区间：（-∞，0），（0，+∞）

过程见图

追答

上面抄错题了将括号外的1/3次方写成括号内了。
更正如下：
减区间（-∞，0），（2/3，+∞）；
增区间（0，2/3）。
x=0时，有极小值0；
x=2/3时，有极大值（3次根下4）/3。
凸区间：（-∞，0），（0，1）；
凹区间：（1，+∞）
见下图

Answer 2

y =x^(2/3)(1-x)^(1/3),
y' = (2/3)x^(-1/3)(1-x)^(1/3) - (1/3)x^(2/3)(1-x)^(-2/3)
= (2-3x)/[3x^(1/3)(1-x)^(2/3)]
驻点 x = 2/3, 使分母为 0 即导数不存在的点 x = 0， x = 1.
在 x = 0 点， 从左到右，y' 从负变到正，是极小值点， 极小值 y(0) = 0;
在 x = 2/3 点， 从左到右，y' 从正变到负，是极大值点， 极大值 y(2/3) = (1/3)2^(2/3);
在 x = 1 点， 从左到右，y' 不变号，不是极值点。
y'' = (-2/9)x^(-4/3)(1-x)^(1/3) - (4/9)x^(-1/3)(1-x)^(-2/3) + (2/9)x^(2/3)(1-x)^(-5/3)
= 2(1-2x)^2/[9x^(4/3)(1-x)^(5/3)],
令 y'' = 0, 得 x = 1/2， 使分母为 0 即二阶导数不存在的点 x = 0， x = 1.
在 x = 0 点， 从左到右，y'' 不变号，不是拐点;
在 x = 1/2 点， 从左到右，y'' 不变号，不是拐点;
在 x = 1 点， 从左到右，y''从正变到负，是拐点。
凹区间 (-∞, 1), 凸区间 (1，+∞)。

Answer 3

分别去求这个函数的一阶、二阶导数，再去求零点，判断符号等等。看看书上例题。祝你好运！

Answer 4

最好咨询一下自己的导师来解决

Answer 5

函数的极值我是弄不好你去问问你的老师吧或者同学们