Question

高等数学多元函数微分，求极值问题，求解，谢谢。附有答案

这个题的图像具体什么样子的呀，内接长方体又是怎么表示出来的?曲线L第一个式子是什么样子的?拉格朗日常数法表示那个F=xyz+……是不是可以把8省略，就是F=8xyz+……

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Answer 1

我来逐一回答你。

1. 因为: x^2/a^2+y^2/b^2=1,  同时z=0, 所以曲线L 是在平面xoy上的一个椭圆。

2. 椭圆绕着x轴旋转后就变成了一个球了，是一个椭球（类似橄榄球）

3. 内接长方体，即使在椭球的内部挖一个长方体，长方体的四个顶点刚好在椭球的外表面上。

4. 体积v=8xyz. 是因为在第一卦限的面积为xyz，而整个长方体由8个这样的小长方体所组成，所以大长方体的体积=8个小长方体体积之和。但实际上我们只需要求的xyz的最大值即可（xyz最大值确定后，8xyz自然获得最大值），那么系数8是可以去掉的。

这种题的解题步骤很固定。

1. 求出极值的表达式，例如本体的体积表达式 f(x,y,z)=8xyz

2. 构造拉格朗日函数 F(x,y,z)=f(x,y,z)+λg(x,y,z) g(x,y,z)为条件函数（比如本题x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/b^2=1, ）

3. 求偏导，令为0.求得驻点

4. 讨论实际的极值点