Question

向量什么三角不等式：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的证明。

Answer 1

你给的这个向量不等式，可以根据三角形的三角不等式进行证明。
三角不等式：△ABC中，三边满足不等式：
|a
-
b|
<
c
<
a
+
b；
①
即：三角形中的任意一边，大于其余两边之差，小于这两边之和。
（注：上面的
a、b、c
都是边长，是数量；下面讨论中的a、b、c
都是向量）
对于你给的不等式，可以拆分为两个，要分别证明：
|a|
-
|b|
≤
|a+b|
≤
|a|
+
|b|；
②
|a|
-
|b|
≤
|a-
b|
≤
|a|
+
|b|；
③
1、证明
②
式：
需分两种情况讨论：
（1）两向量不共线；
此时，将a、b首尾相接，可形成一个三角形的两边。而它们的向量之和：a+b，恰好是这个三角形的第三条边，记作：c；根据①式有：
｜|a|
-
|b|｜
<
|c|
<
|a|
+
|b|；
④
其中，c=
a
+
b；而根据“一个数的绝对值，肯定不小于这个数本身”可知：
|a|
-
|b|
≤
｜|a|
-
|b|｜
将上面的式子代入
④
式，可知：
|a|
-
|b|
<
|a+b|
<
|a|
+
|b|；
显然，该式满足不等式
②；
（2）两向量共线；
此时，若将a、b首尾相接，得到的合向量的长度只有两种值：
1）|a+b|
=
|a|
+
|b|；
2）|a+b|
=
｜|a|
-
|b|｜；
而这两个式子也都满足
②。
综合（1）、（2）可知，不等式
②
对于任何两个向量都成立。
2、证明
③
式：
对于
③
式，可以将其转换为
②
式的形式，然后予以证明：
设向量
x=
-b；则
③
式变为：
|a|
-
|-x|
≤
|a+x|
≤
|a|
+
|-x|；
因为负向量的绝对值与正向量相等，所以上式等价于：
|a|
-
|x|
≤
|a+x|
≤
|a|
+
|x|；
⑤
显然，⑤
式符合
②
式，所以成立；而
⑤
式又等价于
③
式，所以
③
式也成立。
综合
1、2，可证明你给的不等式对于任何两个向量都成立。

Answer 2

根据向量运算的三角形法则。
两边之和|a|+|b|大于第三边|a±b|大于两边之差|a|-|b|
另外考虑平行的情况，可分析出2个取等的情况。