Question

计算积分∫∫sinπx/2ydxdy,其中D由曲线y=x^1/2及直线y=x,y=2所围成的区域。

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

先只考虑第一象限内的积分，根据积分区域的特点应先对x积分，平行于x轴作一条直线穿过积分区域，则该直线由x=0穿人积分区域再由x=(y^2+1)^(1/2)穿出，所以x的积分限为0到(y^2+1)^(1/2)，y的积分限为0到1。积分=∫ydy∫x^2dx=(1/3)∫y(y^2+1)^(3/2)dy=(1/6)∫(y^2+1)^(3/2)d(y^2+1)=(1/15)(y^2+1)^(5/2)=[2^(5/2)-1]/15。
由于积分区域关于y轴对称，被积函数x^2y是关于x
的偶函数，因此原积分=2*[2^(5/2)-1]/15]