Question

设f〃x在[a,b]上连续,证明∫xf〃(x)dx=[bf´(b)]-[af'(a)-f(a)]

Answer 1

证明：做变量替换a+b-x=t,则dx=-dt,当x=b,t=a,当x=a,t=b
于是
∫(a,b)f(a+b-x)dx
=-∫(b,a)f(t)dt=
∫(a,b)f(t)dt=∫(a,b)f(x)dx
即∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f(a+b-x)dx
命题得证。
【注：紧跟
积分符号
后面的为积分区间】

Answer 2

构造函数：f(u)=2∫[a--->u]
xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx，u∈[a,b]，显然有f(a)=0
f'(u)=2uf(u)-∫[a--->u]f(x)dx-(a+u)f(u)
=uf(u)-af(u)-∫[a--->u]f(x)dx
=f(u)(u-a)-∫[a--->u]f(x)dx
由积分中值定理：∫[a--->u]f(x)dx=f(ξ)(u-a)，a<ξ
0，函数为增函数，则
f(u)>f(ξ)
因此[f(u)-f(ξ)](u-a)>0，即f(u)为增函数，则f(u)>f(a)=0
即：2∫[a--->u]
xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx>0
令u=b，得：2∫[a--->b]
xf(x)dx-(a+b)∫[a--->b]f(x)dx
即：∫(a,b)
xf(x)dx≥(a+b)/2
∫(a,b)f(x)dx