Question

已知不等式1/n+1+1/n+2+1/n+3+……+1/2n＞a对于一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围

Answer 1

记f(n)=1/(n+1)+1/(n+2)+……+1/2n
则f(n+1)-f(n)=1/(2n+1)+1/(2n+2)-1/(n+1)
=1/(2n+1)-1/(2n+2)
=1/(2n+1)(2n+2)
>0
因此f(n)随n单调增加
故f(n)>a对于一切大于1的自然数n都成立等价于a<f(2)=1/3+1/4=7/12
即a的取值范围是（-∞，7/12）

Answer 2

由柯西不等式：
[(n+1)+(n+2)+...+(2n)][1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(2n)]>(1+1+...+1)^2=(n)^2{注，一共有n个1,而且等号显然不成立}
而由等差数列求和公式有：(n+1)+(n+2)+...+(2n)=（2n+n+1）n/2=(3n+1)n/2
于是1/(n+1)+1/(n+2)+...+1/(3n)>(2n^2)/[n(3n+1)]=2n/(3n+1)
所以a<=2n/(3n+1)<2/3
即
a的取值范围是（-∞，2/3）