Question

AD是△ABC的角平分线,∠B=2∠C,试说明AB+BD=AC

Answer 1

在ac上找一点e使ae=ab因为ad是abc平分线
，所以角bad=角dae,可以证明三角形bad全等ead则角b=角aed=2角c
,bd=ed,ab=ae,又因为角aed=角c+角edc,所以角edc=角c，所以ec=ed,所以bd=ec,所以ab+bd=ae+ec=ac

Answer 2

在AC上取一点C，使AE=AB,连接DE
∵AD是△ABC的角平分线（已知）
∴∠BAD=∠EAD（角平分线的定义）
在△ABC与△AED中，
AB=AE（已知）
∠BAD=∠EAD（已证）
AD=AD（公共边）
∴△ABD≌△AEB(SAS)
∴BD=DE,∠B=∠AED（全等三角形的对应边，对应角相等）
又∵AE=AB（已知）,BD=EC(已证）
∴AC=AE+EC=AB+BD(等量代换）

Answer 3

作∠B的角平分线交AC于点E，过D作BE的平行线交AC于点F，因为∠B=2∠C
→∠ABE=∠EBC=∠C，DF∥BE
→∠FDC=∠EBC=∠C
→△FDC为等腰三角型→DF=CF，AD平分∠A
→∠BAD=∠FAD，∠AFD=∠FDC＋∠C=∠B
→△ABD≌△AFD
→AB=AF，BD=FD=FC
→AB＋BD=AF＋FC=AC。

Answer 4

证明：
延长AB到点E，使BE=BD，连接DE
则∠E=∠BDE
∴∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E
∵∠ABC=2∠C
∴∠E=∠C
∵∠EAD=∠CAD，AD=AD
∴△AED≌△ACD
∴AC=AB=AB+BE=AB+BD