Question

已知数列{an}中，a1=2，其前n项和为Sn，满足Sn+1=Sn+2．（I）求...

已知数列{an}中，a1=2，其前n项和为Sn，满足Sn+1=Sn+2． （I）求数列{an}的通项公式； （II）设数列{bn}满足bn=2Sn+1-2，数列{bn}的前n项和为Tn，求证Tn＜34．

Answer 1

（I）解：∵Sn+1=Sn+2
∴Sn+1-Sn=2
∴{Sn}是以S1=2为首项，2为公差的等差数列
∴Sn=2+2•(n-1)=2n
∴Sn=2n2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-2；当n=1时，a1=2也满足
∴数列{an}的通项公式为an=4n-2；
（II）证明：由（I）知bn=1n2-2n=12（1n-1n+2）
∴Tn=b1+b2+…+bn=12（1-13+12-14+13-15+…+1n-1n+2）=12（1+12-1n+1-1n+2）=12（32-1n+1-1n+2）＜34．