Question

求经过点A（0，5），且与直线x-2y=0和2x+y=0都相切的圆的方程

Answer 1

设圆心为(a,b)因此用点点距离公式和点到直线距离公式可以知道
(a-0)^2+(b-5)^2=(a-2b)^2/5=(2a+b)^2/5.因此可以得到a=-3b或者b=3a(后面两式的结果).若a=-3b,则10b^2-10b+25=5b^2.无实数解.因此b=3a.于是10a^2-30a+25=5a^2.a^2-6a+5=0.因此a=1,b=3或者a=5,b=15.圆的方程为(x-1)^2+(y-3)^2=5.或者(x-5)^2+(y-15)^2=125

Answer 2

设圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=R^2,那么有：
(1)
(0-a)^2+(5-b)^2=R^2
(圆过已知点）
(2)
R=|a-2b|/sqrt(5)
（圆与直线相切）
(3)
R=|2a+b|/sqrt(5)
（圆与另一直线相切）
联立解得：a=1,b=3,R=sqrt(5)或a=5,b=15,R=5sqrt(5)
方程为：(x-1)^2+(y-3)^2=5或(x-5)^2+(y-15)^2=125.

Answer 3

设圆心坐标（a,b),则圆心到两直线距离相等，可知绝对值（a-2b)=绝对值(2a+b),所以可知b=3a,或a=-3b(由图可知要舍去）。再由圆心到点（0，5)的距离与半径相等，即根下（a^2+(3a-5)^2)=|a-2*3a|/根下5，解得a=1,或a=5,所以圆心（1，3）半径根5，或圆心（5，15)半径5根5，方程（x-1)^2+(y-3)^2=5,或(x-5)^2+(y-15)^2=125