Question

已知平面内一点和一个法向量怎么求平面方程

Answer 1

设平面内该点为(X1,Y1,Z1),法向量为(a，b，c)
设该平面另外一点为(X,Y,Z)
根据平面法向量垂直于平面得:
(X-X1)a+(Y-Y1)b+(Z-Z1)c=0
而由题干知法向量的坐标和平面内该点的坐标都知道。
可求得另外一点(X,Y,Z)X,Y,Z的关系,即为该平面方程。
拓展:
平面方程几种形式如下:
一、截距式
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1
它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。

二、点法式
n为平面的法向量，n=(A,B,C),M,M'为平面上任意两点，则有n·MM'=0, MM'=(x-x0,y-y0,z-z0)，
从而得平面的点法式方程：A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 [1]
三点求平面可以取向量积为法线
任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。
两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0
两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2
点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2)
求解过程:面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积
三、一般式
Ax+By+Cz+D=0
，其中A,B,C,D为已知常数，并且A,B,C不同时为零。
四、法线式
xcosα+ycosβ+zcosγ=p，其中cosα、cosβ、cosγ是平面法矢量的方向余弦，p为原点到平面的距离。
参考资料;
平面方程
百度百科

Answer 2

设平面内该点为(X1,Y1,Z1),法向量为(a，b，c)
设该平面另外一点为(X,Y,Z)
根据平面法向量垂直于平面得:
(X-X1)a+(Y-Y1)b+(Z-Z1)c=0
而由题干知法向量的坐标和平面内该点的坐标都知道。
可求得另外一点(X,Y,Z)X,Y,Z的关系,即为该平面方程。
扩展资料:
“平面方程”是指空间中所有处于同一平面的点所对应的方程，其一般式形如Ax+By+Cz+D=0。
法向量是空间解析几何的一个概念，垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量。由于空间内有无数个直线垂直于已知平面，因此一个平面都存在无数个法向量（包括两个单位法向量）。

Answer 3

当然是点法式了。其实只需知道所经过的一个点就可以了。
a(x-x1)+b(y-y1)+c(z-z1)=0
其中（a,b,c）为该平面法向量，（x1,x2,x3）为该平面经过的一点

Answer 4

设已知点为（x0，y0，z0），法向量为（A，B，C），则平面方程为A（x-x0）+B（y-y0）+C（z-z0）=0。