Question

已知a,b,c为正数,且a+b+c=1,求证a的平方/b+b的平方/c+c的平方/a大于等于1

Answer 1

证法一：
依柯西不等式得
a²/b+b²/c+c²/a
≥(a+b+c)²/(a+b+c)
＝a+b+c
＝1,
故原不等式得证.
证法二：
依基本不等式得
a²/b+b≥2a,b²/c+c≥2b,c²/a+a≥2c.
三式相加，得
a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c＝1.
故原不等式得证.
证法三：
不妨设a≥b≥c>0,依排序不等式得
a²/b+b²/c+c²/a
≥b²/b+c²/c+a²/a
＝a+b+c
＝1,
故原不等式得证。

Answer 2

由3元均值不等式：1/a^2+27a+27a>=3倍3次根号下(1/a^2*27a*27a)=27,即1/a^2>27-54a
同理1/b^2>=27-54b
1/c^2>=27-54c
三式相加得1/a^2+1/b^2+1/c^2>=81-54(
a+b+c)=27
当且仅当a=b=c=1/3，等号成立

∵a、b、c为互不相等的正数
∴1/a^2+1/b^2+1/c^2>27