Question

高中数学不等式化简？

这个不等式是怎么化简出来的？

Answer 1

如图所示

Answer 2

1、关于不等式：（“等价于”记为“<=>”）
xy/2≤1/4（x^2+y^2）
乘以4<=>
2xy≤x^2+y^2
加2xy<=>
4xy≤x^2+y^2+2xy=(x+y)^2
除以8<=>
xy/2≤(x+y)^2/8
=>
xy/2≤1/4（x^2+y^2） <=> xy/2<=(x+y)^2/8
(以上三步等价变换只用到了加法和改变正系数，所以衡成立)
2、关于本问题的回答
一楼肯定是正确的（三级的那个）
二楼不完全正确（十八级）：分析如下：
若正确不等式为
xy/2<=1/4*(x+y)^2
则等式成立条件为
xy/2=(x+y)^2/4
<=>
2xy=(x+y)^2
<=>
x^2+y^2=0
=>
x=y=0
这个结论肯定是错的
而如果从不等式论证的方法来看
二楼的做法其实就有点接近于
将2√ab<=a+b这一基本不等式
两边直接作平方处理
对于非负数的等式论证
平方法并不像加法，乘以正数等
是完全的等价变换方法
而是放缩法中的一种
就好比
2<3,2^2<3^2
也就是说
平方法的结果，
很可能会导致原不等式中等号的情况消失
而得到有“远大于”感觉的结果
3、关于那一道几何题目
首先两者答案一样
所以如果我验算没错的话
应该都是对的
后者的解法（贴图的）更为普通
我比较推荐
至少在考试中有计算错误
但明了的步序仍然可以拿分
前者的解法中
第一步就是
“当AP=DP取最大值”
这一步在纯代数中很险
建议谨慎
因为
不等式中等号成立的条件
比如
2根号xy<x+y
不仅仅是x=y等等
好需要保证
x=y时
右侧x+y为一定值，或一个可求出定值的函数式，而不是个无定值函数式
而在这道几何题中
由于几何关系代表了许多的限定区间（定义域）及等式关系
所以
当AP=DP时
右侧的1/4*（AD∧2+DP∧2）
肯定能通过等式关系球得出定值
故这道几何题目中可以使用此法
其实类似的
若已知x+y=...
求根号xy 最值
也是个几何问题