Question

设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）

2009年湖州模拟,设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为（ ）。

Answer 1

（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立
（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).
若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0
即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.
（3）a>0时，
f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，
①x=0时，1≥0成立
②0<x≤1时，a≥（3x-1）/(x^3)
令g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)•3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)
易知0<x<1/2时函数递增，1/2<x<1时递减，
所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4
③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)
g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4)
可知g(x)在-1<x<0时是增函数，其最小值为g(-1)=4
∴a≤4
由②知a≥4 ∴a=4.
综上知a=4.

Answer 2

函数f(x)=ax^3-3x+1
当a<=0时，F’(x)<0，函数f(x)在定义域内单调减
当a>0时
F’(x)=3ax^2-3=0==>x1=-√a/a, x2=√a/a
F”(x)=6ax, F”(x1)= -6√a<0, F”(x)= 6√a>0
∴函数f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
f(√a/a)=a(√a/a)^3-3(√a/a)+1=1-2√a/a>=0==>a>=4
f(-1)=-a+4>=0==>a<=4
∴若对于任意x∈[-1，1]，都有f(x)≥0成立，则实数a的值为4

Answer 3

（1）a=0时，-3x+1≥0在[-1,1]上不能恒成立（2）a<0时，f’(x)=3ax^2-3<0,f(x)是减函数，其最小值为f(1).若对x∈[-1,1],f(x)≥0恒成立，则需f(1)≥0即a-3+1≥0 a≥2 又因a<0 所以此时无解.（3）a>0时，f(x)=ax^3-3x+1≥0恒成立，x∈[-1,1]，①x=0时，1≥0成立②0<x≤1时，a≥（3x-1）/(x^3) 令g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=（3x^3-(3x-1)•3x^2）/(x^6)=(-6x+3)/(x^4)易知0<x<1/2时函数递增，1/2<x<1时递减，所以g(x)最大值为g(1/2)=4 ∴a≥4③-1≤x<0时，a≤（3x-1）/(x^3)g(x)= （3x-1）/(x^3),求导得g’(x)=(-6x+3)/(x^4) 可知g(x)在-1<x<0时是增函数，其最小值为g(-1)=4∴a≤4由②知a≥4 ∴a=4.综上知a=4.

Answer 4

请用另一种方法解答

Answer 5

a=3