Question

如何用微积分求出球体的体积和表面积

Answer 1

设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R^2-x^2)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2(2(pi)(R^2-x^2))
对其在[0,R]积分可得V=(4/3)(pi)(r^3)
这个函数积分很简单就不写过程了.
球面积相对复杂点(在积分方面)
思想还是一样
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2(pi)√(R^2-x^2)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4(pi)√(R^2-x^2)
对dS积分,设x=R(sin t),t=[0,pi/2]
则dS=4(pi)R(cos t)√(R^2-(R(sin t))^2) dt
=4(pi)(R^2)(cos t)^2 dt
=2(pi)(R^2)+(2(pi)(R^2)(sin 2t) dt) ,t=[0,pi/2]
则解2(pi)(R^2)(sin 2t) dt积分有2(pi)(R^2)
即得S=4(pi)(R^2)