Question

高数一道导数的题目，有图有过程求大神

请问红线部分是怎么推出是大于0的

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Answer 1

详情如图所示

有任何疑惑，欢迎追问

追问

我还是不太懂，可以再讲一下吗？还有这个图像不是▲>0的吗

追答

Answer 2

函数只有一个极值点，说明f'(x)只有一个根，已经看得出x=0是一个根，所以4x^2+8ax+4不可能有零点，既然4x^2 +8ax+4没有零点，那根据零点定理，它肯定始终不变号，而x=0时它等于4>0，所以肯定总大于0

Answer 3

因为f(x)=x^4+ax³+2x²+b仅在x=0处有极值，也就是只有一个极值点；
由其导函数 f '(x)=x(4x²+3ax+4)=0可知：x=0；而u=4x²+3ax+4是一个二次函数，其图
像是一条开口朝上的抛物线，因此必有4x²+3ax+4>0对任何x都成立，否则必然还有零点，
也就是还有极值点，这与极值唯一的规定有矛盾。故断言是对的。
【下面是对追问的回答：】
u=4x²+3ax+4是一个二次函数，其图像是一条开口朝上(因为二次项系
数A=4>0)的抛物线。由开口朝上的抛物线的性质知道：如果抛物线与
x轴相交或相切，则其判别式∆=9a²-64≧0;抛物线与x轴的交点或切点就
是方程4x²+3ax+4=0的根，因为该方程的根x=[(-3a±√(9a²-64)]/8;
这时该抛物线有一部分图像在x轴的下面，或至少有一个切点；于是就使
f'(x)=x(4x²+3ax+4)=0除了x=0一个实根之外还有其它的零点，零点就是
题示函数的极值点。如果判别式=9a²-64<0，则表明该抛物线与x轴既不
相交，也不相切，也就是对任何x都有4x²+3ax+4>0.

追问

不好意思，可以再讲一下吗。。。从那个开口向上的抛物线

追答

对你的追问，已添加在正文后面，请查看。

Answer 4

1)，
∵f(ⅹ)=ⅹ^4+aⅹ^3+2ⅹ²+b，
∴f′(ⅹ)=4X^3+3aX²+4X
=x(4X²+3aX+4)
当a=-10/3时，
f′(x)=2X(2X-1)(Ⅹ-2)，
令f′(x)=0得:
X1=0，X2=1/2，Ⅹ3=2，
∴X∈(-∞，0)时，f′(ⅹ)<0，
x∈(0，1/2)时，f′(X)>0，
X∈(1/2，2)时，f′(X)<0，
X∈(2，+∞)时，f′(X)>0，
∴f(X)在(0，1/2)，(2，+∞)单增;在(-∞，0)，(1/2，2)单减。
2)，
∵f′(x)=X(4X²+3aⅹ+4)，
当X=0时，4x²+3ax+4≠0，
∴X=0不是4x²+3aⅹ+4=0的根，为使f(X)只有在X=0处有极值，
必有4X²+3aX+4≥0恒成立，
∴△=9a²-64≤0，
∴-8/3≤a≤8/3，
故a∈[-8/3，8/3]为所求。