Question

帮忙看一道带绝对值的二重积分题,∫∫|x^2+y^2-2y|dxdy ,D∈x^...

帮忙看一道带绝对值的二重积分题, ∫∫|x^2+y^2-2y|dxdy ,D∈x^2+y^2≤4 ∫∫D(x^2+y^2-2y)dxdy-∫∫D‘(x^2+y^2-2y)dxdy=9π,其中D’∈x^2+(y-1)^2≤1 用到了大圆分割小圆. 请问这是根据那条定理做的?绝对值是怎么去掉的?

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

二重积分的区域可加性.要去绝对值,就是要比较x^2+y^2与2y的大小.在D内,当x^2+y^2≤2y时,被积函数是2y-x^2-y^2；当x^2+y^2＞2y时,被积函数是x^2+y^2-2y.这样,区域就被分成了两部分,积分分为两个.