Question

如图，在△ABC中，角abc=45°，点D在边BC上，角ADC=60°，且BD=½CD，。。。

如图，在△ABC中，∠ABC=45°，点D在边BC上，∠ADC=60°，且BD=1/2CD.将△ACD以直线AD为轴对称变换，得到△AC'D,连接BC'(1)求证:BC⊥BC;(2)求∠C的大小;

Answer 1

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解:(Ⅰ)∵△AC'D是△ACD以AD为轴对称变换得到的，
∴△AC′D≌△ACD.
有C′D=CD，∠ADC′=∠ADC.
∵BD=
12CD，∠ADC=60°，
∴BD=
12C′D，∠BDC'=180°-∠ADC′-∠ADC=60°.
取C'D中点P，连接BP，则△BDP为等边三角形，△BC′P为等腰三角形，
有∠BC′D=
12∠BPD=
12∠BDC′=30°.
∴∠C'BD=90°，
即BC′⊥BC.
(Ⅱ)解:过点A分别作BC，C'D，BC'的垂线，垂足分别为E，F，G.
∵∠ADC'=∠ADC，即点A在∠C′DC的平分线上，
∴AE=AF.
∵∠C'BD=90°，∠ABC=45°，
∴∠GBA=∠C′BC-∠ABC=45°，
即点A在∠GBC的平分线上，
∴AG=AE.
于是，AG=AF，则点A在∠GC′D的平分线上.
又∵∠BC′D=30°，有∠GC'D=150°.
∴∠AC′D=
12∠GC′D=75°.
∴∠C=∠AC′D=75°.