Question

设关于x的函数y=2cosx^2-2acosx-(2a+1)的最小值为f(x)。（给准确答案！）

1.试用a写出f(a)的表达式
2.试确定f(a)=0.5的a的值，并由此时的a求出y的最大值。

Answer 1

1.令t=cosa
-1≤t≤1
y=2t^2-2at-(2a+1)
=2[t^2-at+(a^2)/4]-a^2/4-2a-1
=2(t-a/2)^2-a^2/4-2a-1
1)a/2<-1时 t=-1最小
f(a)=2(-1-a/2)^2-a^2/4-2a-1=1+a^2/4
2)-1≤a/2≤1时 t=a/2 最小
f(a)=-a^2/4-2a-1
3)a/2>1时 t=1最小
f(a)=2(1-a/2)^2-a^2/4-2a-1=a^2/4-4a+1
2.1)a/2<-1时,f(a)=1+a^2/4=1/2,得a无解
2)-1≤a/2≤1时,
f(a)=-a^2/4-2a-1=1/2
得a=-4+√10(舍-4-√10)
3)a/2>1时,f(a)=a^2/4-4a+1=1/2
得a=8+√62(舍8-√62)
综上.a=-4+√10时,y(max)=3
a=8+√62时,y(max)=-15

Answer 2

令cosx=z.则：y=2z^2-2az-2a-1.(-1≤z≤1).对称轴z=a/2.
1.当a/2＜-1时；
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调上升，所以最小为y(-1).
即：f(a)=y(-1)=2+2a-2a-1=1.
2.当-1≤a/2≤1时；
y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1的最小为z=a/2.
即：f(a)=y(a/2)=(8*(-2a-1)-(-2a)^2)/8=-0.5a^2-2a-1
3.当a/2＞1时；
则y=2z^2-2az-2a-1在-1≤z≤1单调下降，所以最小为y(1).
即：f(a)=y(1)=2-2a-2a-1=-4a+1.
所以f(a)是一个分段函数，表示为：
1.a＜-2，f(a)=1；
2.-2≤a≤2，f(a)=-0.5a^2-2a-1；
3.a＞2，f(a)=-4a+1.