Question

求P点坐标

圆A(-3,1),半径为2，圆B（4，5），半径为2，P为平面内一点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线L1和L2，L1、L2分别与圆A、圆B相交，且L1被圆A截得的弦长与L2被圆B截得的弦长相等，求所有满足条件的P点坐标 最好有详解

Answer 1

点P的轨迹线段。
圆A、B，是两个等圆。
设P点坐标（x0,y0),
（1）当L1，L2其中一条直线的的斜率为0，那另一条直线的斜率不存在；
若L1为y=y0,那L2为x=x0,(平行移动L1和L2就可以确定-1<=y0<=3,2<=x0<=6)
因为截得的弦长相等，所以A到L1的距离等于B到L2的距离；
所以|1-y0|=|4-x0|,所以x0-y0-3=0或x0+y0-5=0(-1<=y0<=3,2<=x0<=6)
即点P的坐标满足x-y-3=0或x+y-5=0
(-1<=y<=3,2<=x<=6)在两条线段上。
若L1为x=x0,那L2为y=y0,,(平行移动L1和L2就可以确定3<=y0<=7,-5<=x0<=-1)
因为截得的弦长相等，所以A到L1的距离等于B到L2的距离；
所以|5-y0|=|-3-x0|,所以x0-y0+8=0或x0+y0-2=0(3<=y0<=7,-5<=x0<=-1)
即点P的坐标满足x-y+8=0或x+y-2=0(3<=y<=7,-5<=x<=-1)在两条线段上
(2)L1的斜率为k（k不等于0）,则L2的斜率为-1/k
L1的方程为y=k(x-x0)+y0,即kx-y+(y0-kx0)=0
L2的方程为y=(-1/k)(x-x0)+y0,即x+ky-(x0+ky0)=0
点A（-3，1）到L1的距离为|-3k-1+(y0-kx0)|/根号（k^2+1)
点B（4，5）到L2的距离为|4+5k-(x0+ky0)|/根号（1+k^2)
因为截得的弦长相等，所以A到L1的距离等于B到L2的距离
所以|-3k-1+(y0-kx0)|/根号（k^2+1)=|4+5k-(x0+ky0)|/根号（1+k^2)
|-3k-1+(y0-kx0)|=|4+5k-(x0+ky0)|
把x0,y0换成x,y得
3k+1+kx-y=±（4+5k-x-ky)
(k+1)x+ky-(2k+3)=0或（k-1)x-ky+(8k+5)=0
这两条线中的线段与k的取值有关，范围及交点不好确定……
后面不愿意算了（好难）……
另一种方法，但后面也算不了。
设P（x0,y0),过圆A圆心的直线L1的斜率为k,则直线L1为kx-y+3k+1=0,它可以上下平移根号5个单位，向上平移5个单位的直线为kx-y+3k+6=0
另一条线L2为x+ky-5k-4=0可以上下平移根号（4/k^2
+4)，向上平移后的直线方程为x+ky-5k-4+根号（4k^2+4)=0,这样去算交点的话，计算相当复杂。