Question

一道挺难的初三数学函数几何题

如图，⊙P与⊙Q外切于点N，经过N点的直线AB交⊙P于A，交⊙Q于B，以经过⊙P的直径AC所在直线为y轴，经过点B的直线为x轴，建立直角坐标系 （1）求证：OB是⊙Q的切线 （2）如果OC=CP=PA=2，⊙Q在始终保持与⊙P外切，与x轴相切的情况下运动，设点Q的坐标为（x,y），试求y与x之间的函数关系式 （3）在（2）的条件下，设M是所求函数图像上的任意一点，过点M分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别是E、F，连接PE、PM。问是否存在△PEO与△PMF相似？若存在，求出ME的长；若不存在，说明理由 我作出第一步了，第二步做了一个小时，居然出了个衡等式，郁闷。。大家帮帮忙啊~~~~心里很不服气腻。。

Answer 1

(1)证明:连结PQ和QB,则PQ一定经过N点.设⊙P与⊙Q的半径分别为r1和r2.
即PN=r1,QN=r2.设∠ANP=∠BNQ=θ,
则AN=2
r1cosθ,BN=2
r2cosθ.∴AN:BN=r1:r2
PN:QN=r1:r2=AN:BN.
∴AP∥QB
∴QB垂直于X轴
∴OB是⊙Q的切线.
(2)QB=y,PQ=sqrt(x^2+(y-4)^2),sqrt()表示根号.
由△APN与△BQN相似,得到:
AP:QB=PN:NQ,NQ=PQ-PN
∴2:y=2:sqrt(x^2+(y-4)^2)
∴y=(x^2+12)/12
即y与x之间的函数关系式y=(x^2+12)/12.
(3)易知:ME=FO=y,MF=EO=x
假设存在△PEO与△PMF相似,则EO:PO=MF:PF
即:x:4=x:(y-4)
∴y=8,根据y=(x^2+12)/12求得x=2
sqrt(21)
∴存在相似.且ME=y=8.