Question

已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(cosx,cosx),d=(0,sinx)

已知向量a=(sinx,cosx),b=(sinx,sinx),c=(cosx,cosx),d=(0,sinx)
（1）当x属于[0,π/2]时，求ab的最大值
（2）设函数f(x)=(a+b)(c-d)，求函数f(x)的图像按向量m=(π/12，1)平移后得到函数g(x)的解析式
我在线等啊。。。求求各位大大帮帮忙了，暑假作业确实不会啊

Answer 1

解：

(1)ab=sin²x+sinxcosx

=(sin²x+sinxcosx)/(sin²x+cos²x)

=(tan²x+tanx)/(tan²x+1)

令t=tanx，∵x∈(0,π/2)

∴t∈(0,＋∞)

原式=(t²+t)/(t²+1)

=1+(t-1)/(t²+1)

对t求导，得

(t²+1-2t²+2t)/(t²+1)

=-(t²-2t-1)/(t²+1)

∴在(0,1+√2)导数为正，函数递增，在(1+√2，+∞)导数为负，函数递减

∴在t=1+√2处原式取得最大值，1+√2/（4+2√2）=(1+√2)/2

即ab的最大值为(1+√2)/2

(2)f(x)=(2sinx,sinx+cosx)(cosx,cosx-sinx)

=2sinxcosx+cos²x-sin²x

=sin2x+cos2x

=√2*[(√2/2)sin2x+(√2/2)cos2x[

=√2sin(2x+π/4)

按向量m=(π/12,1)平移后得到的函数

g(x)=√2sin[2(x-π/12)+π/4]+1

=√2sin(2x+π/12)+1

不懂的再问

谢谢

Answer 2

解：(1)ab=sin²x+sinxcosx
=(sin²x+sinxcosx)/(sin²x+cos²x)
=(tan²x+tanx)/(tan²x+1)
令t=tanx，∵x∈(0,π/2)
因此t∈(0,＋∞)
原式=(t²+t)/(t²+1)=1+(t-1)/(t²+1)
对t求导，得
(t²+1-2t²+2t)/(t²+1)=-(t²-2t-1)/(t²+1)
故在(0,1+√2)导数为正，函数递增，在(1+√2，+∞)导数为负，函数递减
所以在t=1+√2处原式取得最大值，1+√2/（4+2√2）=(1+√2)/2
即ab的最大值为(1+√2)/2

(2)f(x)=(2sinx,sinx+cosx)(cosx,cosx-sinx)
=2sinxcosx+cos²x-sin²x
=sin2x+cos2x
=√2*[(√2/2)sin2x+(√2/2)cos2x]
=√2sin(2x+π/4)
按向量m=(π/12,1)平移后得到的函数
g(x)=√2sin[2(x-π/12)+π/4]+1
=√2sin(2x+π/12)+1