怎样严格的证明 两个有理数之间至少存在一个无理数?
如下：
其实两个有理数之间存在无数个无理数，要证明至少存在一个无理数可以直接构造。
首先考虑简单的情形，0和1都是整数，当然都是有理数，0和1之间存在无数个无理数，随便列举若干：当n是正整数且n不是完全平方数时，1/√n是0和1之间的无理数，π/4是0和1之间的无理数。
令r是0和1之间的无理数，显然可以构造出这样的r。现在要证明，a和b都是有理数，a<b，一定存在一个无理数x，a<x<b。
令d=b-a，x0=r*d，x=a+x0=a+r*d，则x是满足a<x<b的无理数。
证明如下：
首先证明x满足a<x<b。由于0<r<1，又x0=r*d，故有0<x0<d，x=a+x0故有a<x<a+d，又根据d=b-a可知b=a+d，故a<x<b。
其次证明x是无理数。由于d=b-a是两个有理数之差，故d是有理数，又r是无理数，x0=r*d是无理数和有理数的乘积，结果是无理数，x=a+x0是有理数和无理数的加和，结果是无理数。
综上所述，构造出的x是满足a<x<b的无理数。
在数学中，无理数是所有不是有理数字的实数，后者是由整数的比率（或分数）构成的数字。当两个线段的长度比是无理数时，线段也被描述为不可比较的，这意味着它们不能“测量”，即没有长度（“度量”）。
常见的无理数有：圆周长与其直径的比值，欧拉数e，黄金比例φ等等。
可以看出，无理数在位置数字系统中表示（例如，以十进制数字或任何其他自然基础表示）不会终止，也不会重复，即不包含数字的子序列。
例如，数字π的十进制表示从3.141592653589793开始，但没有有限数字的数字可以精确地表示π，也不重复。
必须终止或重复的有理数字的十进制扩展的证据不同于终止或重复的十进制扩展必须是有理数的证据，尽管基本而不冗长，但两种证明都需要一些工作。数学家通常不会把“终止或重复”作为有理数概念的定义。
无理数也可以通过非终止的连续分数来处理。
无理数是指实数范围内不能表示成两个整数之比的数。简单的说，无理数就是10进制下的无限不循环小数，如圆周率、根号2等。
而有理数由所有分数，整数组成，总能写成整数、有限小数或无限循环小数，并且总能写成两整数之比，如21/7等。
