Question

已知双曲线c:x2a2-y2b2=1的离心率为根号3,右焦点为f,若过点m(1,0)且斜率为1的

线l与双曲线c交于ab两点，且向量fa•向量fb=4，则此双曲线的方程为

Answer 1

题目打错了吧？双曲线c的方程修订为：x²/a² - y²/b² = 1 。现将方程修改后的解答提供如下：
解：已知 e = c/a = √3 ，那么结合c²=a²+b²，易得 a² = c²/3，b²=2c²/3。则双曲线方程可化为：
6x² - 3y² = 2c² 。”
设点A、B的坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)。而依题意易知直线L的方程为：
y = x - 1。
将其代入双曲线方程，消去y并整理，得
9x² - 6x + 3 - 2c² = 0 。
根据韦达定理，得
x1 + x2 = 2/3 ，x1x2 = (3 - 2c²)/9.......................①。
同理可得：
y1 + y2 = -4/3，y1y2 = (6 - 2c²)/9......................②。
同时，由已知向量FA和向量FB的点乘等于4的条件，得
(x1 - c)(x2 - c) + (y1 - 0)(y2 - 0) = 4 。整理，得
x1x2 - c(x1 + x2) + c² + y1y2 - 4 = 0 。
将①②代入上式，并整理，得 (5c + 9)(c - 3) = 0 。
解得：c = -9/5(∵c>0，故舍去)，或 c = 3 。即得：a² = c²/3 = 3 ，b² = 2c²/3 = 6 。
所以，此双曲线方程为： x²/3 - y²/6 = 1 。