Question

求不定积分∫dx/(1-x^2)^2

Answer 1

∫dx/(1-x^2)^2=∫dx/[(1-x)(1+x)]^2=∫dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]设∫dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]=A∫dx/(1-x)+B∫dx/(1-x)^2+C∫dx/(1+x)+D∫dx/(1+x)^2=∫[A(1-x)(1+x)^2+B(1+x)^2+C(1+x)(1-x)^2+D(1-x)^2]dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]=∫[A(1-x)(1+2x+x^2)+B(1+2x+x^2)+C(1+x)(1-2x+x^2)+D(1-2x+x^2)]dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]=∫[A(1+x-x^2-x^3)+B(1+2x+x^2)+C(1-x-x^2+x^3)+D(1-2x+x^2)]dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]=∫[(A+B+C+D)+(A+2B-C-2D)x+(-A+B-C+D)x^2+(-A+C)x^3]dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]对应系数相等，则A+B+C+D=1，A+2B-C-2D=0，-A+B-C+D=0，-A+C=0解得A=1/4，B=1/4，C=1/4，D=1/4即∫dx/[(1-x)^2*(1+x)^2]=(1/4)[∫dx/(1-x)+∫dx/(1-x)^2+∫dx/(1+x)+∫dx/(1+x)^2]=(1/4)[-∫d(1-x)/(1-x)-∫d(1-x)/(1-x)^2+∫d(1+x)/(1+x)+∫d(1+x)/(1+x)^2]=(1/4)[-ln|1-x|+1/(1-x)+ln|1+x|-1/(1+x)]+C=(1/4)[ln|(1+x)/(1-x)|+2x/(1-x^2)]+C=(1/4)ln|(1+x)/(1-x)|+x/[2(1-x^2)]+C我的答案是这样的。祝你新春愉快！