Question

定积分-√2到√2+√(8-2y^2)+dy,为什么要令y=2sinu,

Answer 1

这个问题中的积分是关于y的，所以我们不妨先寻找关于y的一个值，看看是否能够简化积分。让我们尝试将y替换为2*sin(u)的形式：
y = 2 * sin(u)
为什么我们要尝试这个替换呢？首先，我们观察到原积分中的 (8 - 2y^2)的平方根，这提示我们可以尝试令y的平方与1成比例。
当y = 2 * sin(u)时，
y^2 = (2 * sin(u))^2 = 4 * sin^2(u)
所以，
8 - 2y^2 = 8 - 2(4 * sin^2(u)) = 8 - 8 * sin^2(u)
这正好是一个关于sin(u)的平方差：
8 - 8 * sin^2(u) = 8 * (1 - sin^2(u)) = 8 * cos^2(u)
这样，原积分的根号部分就变成了关于cos(u)的表达式：
√(8 - 2y^2) = √(8 * cos^2(u)) = 2 * |cos(u)|
注意到，根据y的取值范围和我们选择的替换，cos(u)总是正的，所以可以省略绝对值符号。
同时，我们还需要计算dy关于du的导数：
dy/du = 2 * cos(u)
所以，
dy = 2 * cos(u) * du
将以上替换代入原积分，得到：
∫(-√2, √2, √(8 - 2y^2) dy) = ∫(u的取值范围，2 * cos(u) * 2 * cos(u) du)
这样，我们通过替换y = 2 * sin(u)，简化了原积分，便于计算。