Question

若mxn矩阵A的n个列向量线性无关，则r（A）为什么=n？

Answer 1

首先需要清楚秩和满秩的概念。秩就是指极大线性无关组中向量的个数。满秩是指，极大线性无关组中，向量的个数，和向量组中向量的个数相等。这就说明极大线性无关组把整个向量组的向量全部包括进来。

若矩阵秩等于行数，称为行满秩；若矩阵秩等于列数，称为列满秩。既是行满秩又是列满秩则为n阶矩阵即n阶方阵。行满秩矩阵就是行向量线性无关，列满秩矩阵就是列向量线性无关；所以如果是方阵，行满秩矩阵与列满秩矩阵是等价的。

题中的矩阵A的n个列向量线性无关，因此矩阵A是列满秩矩阵，根据列满秩矩阵的矩阵秩等于列数，得到r（A）=n。

扩展资料：

线性无关组华为线性相关组的性质：

1、对于任一向量组而言,，不是线性无关的就是线性相关的。

2、向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关

3、增加向量的个数，不改变向量的相关性。(注意，原本的向量组是线性相关的)

4、减少向量的个数，不改变向量的无关性。(注意，原本的向量组是线性无关的）

5、 如果向量组线性无关,那么把每个分量添上m个分量(所添加的分量的位置对于每个向量都是一样的)得到的延伸组也线性无关；

参考资料来源：百度百科-满秩矩阵