Question

设锐角三角形abc的内角a.b.c

Answer 1

设锐角三角形ABC的对边分别为a.b.c.且a=2bsinA.求B大小.求cosA+sinC取值范围.
解1：求B的大小
过C点作AB的垂线CD,其中CD交AB于D点.
则在三角形ACD中,CD=ACsinCAD=bsinA
在三角形BCD中,BC=a=2bsinA
所以sinB=CD/BC=bsinA/2bsinA=1/2
因为三角形ABC是锐角三角形,所以,角B是锐角,而sinB=1/2,B=30°
解2：求cosA+sicC的取值范围
因为B=30°,而ABC为锐角三角形,A+C=180°-30°=150°,所以,要得出答案,就要用上这个已知条件.
cosA=sin(90°-A)
sicC=sin(180°-B-A)
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
利用三角函数的关系：sinα＋sinβ＝2sin[(α+β)/2]·cos[(α+β)/2]得：
cosA+sicC=sin(90°-A)+sin(180°-B-A)
=2sin{[(90°-A)+ (180°-B-A)]/2}]·cos{[(90°-A)-(180°-B-A)]/2}
=2sin(120°-A)·cos(-30°)
=√3sin(120°-A)…………………………………………………………（1）式
因为A是锐角,即0＜A＜90°
所以30°＜120°-A＜120°
所以1/2＜sin(120°-A)＜1
所以√3/2＜√3sin(120°-A)＜√3
所以cosA+sicC的取值范围是（√3/2,√3）