Question

什么是整数裂项

Answer 1

【整数裂项】对于较长的复杂算式，单单靠一般的运算顺序和计算方法是很难求出结果的。如果算式中每一项的排列都是有规律的，那么我们就要利用这个规律进行巧算和简算。而裂项法就是一种行之有效的巧算和简算方法。通常的做法是：把算式中的每一项裂变成两项的差，而且是每个裂变的后项（或前项）恰好与上个裂变的前项（或后项）相互抵消，从而达到“以短制长”的目的。现举例说明：\r\n计算1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋?＋98×99＋99×100 \r\n分析：这个算式实际上可以看作是：等差数列1、2、3、4、5??98、99、100，先将所有的相邻两项分别相乘，再求所有乘积的和。算式的特点概括为：数列公差为1，因数个数为2。\r\n 1×2=（1×2×3-0×1×2）÷（1×3）\r\n 2×3=（2×3×4-1×2×3）÷（1×3）\r\n 3×4=（3×4×5-2×3×4）÷（1×3）\r\n 4×5=（4×5×6-3×4×5）÷（1×3）\r\n ?? \r\n98×99=（98×99×100-97×98×99）÷（1×3）\r\n 99×100=（99×100×101-98×99×100）÷（1×3） \r\n将以上算式的等号左边和右边分别累加，左边即为所求的算式，右边括号里面诸多项相互抵消，可以简化为（99×100×101-0×1×2）÷3。 \r\n解：1×2+2×3+3×4+4×5+??+98×99+99×100\r\n =（99×100×101-0×1×2）÷3\r\n =333300