Question

问一个考研数学的积分问题，百思不得其解

cost的四次幂，从0积到四分之π是如何用公式计算的，从0积到二分之π那个公式我知道
我知道可以用二倍角算 但是我想知道有没有更简便的方法 毕竟cost的n次幂 从0积到二分之π还是有公式的

Answer 1

楼主：你好！很高兴帮你解答你提问的问题。

这个题我也见过，也听蔡子华老师讲过，具体思路是这样的：

思路一：通过换元令u=2t，此时的上下限范围是从0积到二分之π，然后再运用书上那个公式即可。

思路二：就是楼上说的三角换元公式，换过后结果一目了然。

思路三：你应该还没学过多维几何学吧？不过不要紧，因为只有幂函数，而且有x^4，所以首先要考虑的是凑幂函数的微分。你比如：x^4+1=（x^2+1）^2-2x^2就可以把分母变成2个因式相乘。一般来说，幂函数总是往着降幂的方向进行。

根据我做题目的经验，遇到积分，首先考虑三角代换，其次是有理化，然后是倒代换，最后才是根式代换。就这么多吧，有什么再问*-）～

Answer 2

用二倍角公式比较好，变为((1+cos2t)^2)/4 dt 0积到四分之π
再变为((1+cost)^2)/8 dt 0积到二分之π
然后将其展开，求积分，看似很麻烦，算起来也很快的

ps：我感觉直接套公式算出结果，应该没有这样的公式吧

Answer 3

运用公式cos^2(t)=0.5*(cos2t+1),把cos^4(t)用cos2t和cos4t表示不就可以了么。

Answer 4

先将四次幂降为二次幂，然后再将二次幂降为一次的，再积分就ok了，为什么要背公式呢？

Answer 5

cost的n次幂 = n-1/n * n-3/n-2 * ... * 1/2 * π