Question

二次函数5

已知二次函数y=x²-2mx-2m²(m≠0）的图像与x轴交于点A,B，它的顶点在以AB为直径的圆上。
（1）证明：A,B是x轴上两个不同的交点；
（2）求二次函数的解析式
（3）设以AB为直径的圆与y轴交于点C,D，求弦CD的长。

Answer 1

（1）证明：令x^2-2mx-2m^2=0,德尔塔=4m^2+8m^2=12m^2>0恒成立（因为m不等于0），故二次函数y=x^2-2mx-2m^2与x轴交于不同的A/B两点。
（2）函数的顶点坐标为（m,-3m^2）
令x^2-2mx-2m^2=0，设x1>x2,知x1+x2=2m,x1*x2=-2m^2,
则(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=12m^2,得x1-x2=2m*√3，即AB=2m*√3
又顶点的纵坐标为-3m^2,则2m*√3=2*3m^2（m≠0）,解得，m=√3/3,
所以y=x^2-(2√3/3)*x-2/3.
(3)写出圆的方程，圆心为（-√3/3，0），直径为AB=2，
得（x+√3/3）^2+y^2=2,在Y轴，x=0,得y^2=2-1/3=5/3，所以CD=2√（5/3）
（√为根号）

Answer 2

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