Question

如图，因为求微分方程中绝对值经常会脱掉然后把正负号含在常数c里面，那么这个结果可不可以写成y^2=

如图，因为求微分方程中绝对值经常会脱掉然后把正负号含在常数c里面，那么这个结果可不可以写成y^2=x^2（2lncx）呢，脱掉这个绝对值号？

Answer 1

y²=x²(2ln|x| + C)
y²=x²(ln|x|² + C）
y²=x²(lnx² + lnC1)
y²=x²lnC1x²
这个表示可以。

y²=x²(2lnC1x)
要求C1和x的符号必须同正或者同负，而C1是常数，是不能根据x的取值改变的。
当C1 = -1时，x＞0是无意义的。
那么y²=x²(2lnC1x)不能包含原微分方程的所有解。
那么就只能分段函数写成 x＞0，x＜0的情况了。

也就是说y²=x²(2lnC1x)，一旦C1确定后，不能保证上述表达式能够表示所有的解。

newmanhero 2015年8月10日21:13:37

希望对你有所帮助，望采纳。

追问

画圈的地方的绝对值可以去掉吗？这个绝对值里不是x了

追答

题目已知里如果没有 y＞0的已知条件，是不可以去掉的。

追问

那像这个式子lnc | x+y | =x呢？书上遇到这样的就在改写成以e为底的式子时去掉绝对值了。这个是什么时候都可以去掉的吗？还是说，写成以e为底的式子以后就全都可以去掉绝对值了？

追答

如果常数C能吸收±时，可以去掉绝对值。
c|x+y|=e^x，±c(x+y)=e^x，令C1=±C，C1(x+y)=e^x
题目的已知中会含有x，y的取值的时候，有可能去掉绝对值。
在求特解的时候，不需要解得全部解，是可以去掉绝对值的。

追问

c不是什么时候都可以吸收正负号吗？？
要按照你这样说的话，那只要改写成e为底的形式，所有的绝对值不都能脱掉了吗？
总觉得ln带绝对值形式和e为底脱绝对值的形式在范围上有出入呢，就这样直接脱掉了，能对吗

Answer 2

不能。原方程中x可取0以外的一切实数，而你写的解，当c取常数时解只在半数轴上有定义。

追问

比如这个lnc | x+y | =x将其化为以e为底的式子时，这个绝对值号就直接脱掉了，这又是为啥呢？这不也是绝对值在ln里面的形式吗

比如78两个题，就那样脱掉了

追答

lnc | x+y | =x中，c只能取正常数，但x可正可负。写成指数形式，c|x+y|=e^x,

|x+y|=e^x/c，这里两边都是正值。当消去左边绝对值时，x+y=+-e^x/c
为书写简单，省去+-号，就改设此处c可以取任意非零数即可。如果c=0也对应解，则将1/c改写为C1，C1可以是任何实数了（包括0）。

追问

那这个画圈处绝对值里是y，这样可不可以脱掉呢

这个结果化简一下可以得2x^2y^2ln c|y | =2xy+1，这个可以直接脱掉绝对值吗

追答

试试看：2x^2y^2ln c|y | =2xy+1，ln c|y | =（2xy+1）/(2x^2y^2)
c|y|=e^(（2xy+1）/(2x^2y^2))
y=+-e^(（2xy+1）/(2x^2y^2))/c
可以假设c取非0得y=e^(（2xy+1）/(2x^2y^2))/c

追问

那我一开始问的那个x的，是不是就算写成以e为底的式子以后，那个绝对值也是不能脱的？

追答

写成指数形式就可脱了。这时可以保证x取0以外的数。

追问

不是啊，写成指数形式就是x等于一个指数，这样x不又是只能取正的了吗？

追答

2ln|x|=ln|x|^2=ln(x^2),不是没有绝对值了。

追问

这个恐怕不能。要点是将|y|改为+-y时，其他项是否只要C可取+-常数就可以把+-包含进去。这个表达式没有这个性质。

这段话能再解释一下吗，不是太懂

追答

这个回答已经用“试试看”的回答替代。

Answer 3

可以。但C是积分时就已经按积分公式写出来了的。

追答

就是那个C1，积分时就已经有了。

追问

额那么然后呢？为了让式子简单不是经常会把c拿到ln里面的吗，不一定非要把c扔到外面吧？

追答

可以的。你可以把它看成ln|x|+lnC，就是ln|xc|了。

lnC一样可以表示(-∞，+∞)

能采纳么？

追问

那lnxc不加绝对值号能对吗？我原来是想绝对值打开就是有个正负号，这个正负号可以含在c里面，但如果带着绝对值，同一个c可以取到的x是正负都行的，脱掉绝对值后同一个c只能取正的x或者负的x其中的一个，这样不就缩小了定义域吗？

能啊，问完就采纳呀

追答

lnx应该加啊。要不然无法保证xc大于0。不过按答案写更保险些。

Answer 4

可以把结果写为y²=2x²ln(C|x|)，但绝对值符号决不能脱掉！

追问

为什么呢？那种绝对值不在ln里的式子就可以脱掉绝对值的啊？

追答

这样写还要注明C≠0。

因为C是一个常数，其符号不是正就是负，不脱绝对值符号x只要不为0即可，如脱掉绝对值符号C为正数x就只能是正数，C为负数x就只能是负数。

Cx和C|x|是不一样的，不要以为C可正可负就可以把绝对值符号脱掉，比如说，把C=-2带进去，-2x和-2|x|肯定是不一样的。

将lnC|x+y|=x化为以e为底的式子时，这个绝对值号也不能脱掉，结果为C|x+y|=e^x。

Answer 5

自己掌握到了才是硬道理