Question

若函数f(x)=x³-tx²+3x在区间R上单调递增,则实数t的取值范围是？

Answer 1

首先，求出函数的一阶导数：
f'(x) = 3x² - 2tx + 3
由于函数f(x)在区间R上单调递增，即f'(x)在区间R上恒大于0。因此，
3x² - 2tx + 3 > 0
移项得
3x² + 3 > 2tx
则
t < 3x²/2 + 3/2
因为不同的x对应的t有可能不同，所以需要考虑使得t满足条件的最大和最小值。
当x取最大值时，3x²/2 + 3/2 的值也达到最大，此时
t < 3x²/2 + 3/2 = 27/2
当x取最小值时，3x²/2 + 3/2 的值也达到最小，此时
t < 3x²/2 + 3/2 = 3/2
因此，t的取值范围为
3/2 < t < 27/2