五次方程为什么没有求根公式

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瞌睡蟲蟲09
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五次方程为什么没有求根公式相关内容如下:

首先,这里所说的五次方程指的是一般的一元五次方程,即形如ax5+bx4+cx3+dx2+ex+f=0 的方程,为什么不是根式可解的。

首先来说一下什么是根式可解。如果方程 xn+a1xn−1+a2xn−2+⋯+an−1x+an=0 的根可以通过其系数经过有限次的加、减、乘、除及开整数次方运算表示出来,则称该方程是根式可解的。

1、一元一次方程:

形如 ax+b=0 的方程,这个太容易了,它的根是 x=−ba ,我们甚至都不把它算作求根公式。

2、 一元二次方程:

形如 ax2+bx+c=0 的方程,它的求根公式我们也非常熟悉。但是这里,我们换一种求解方式。

根据代数学基本定理,我们知道一元二次方程有两个根。设其为 x1,x2

将原方程两边同时除以 a ,得到 x2+bax+ca=0 。那么一定有如下的等式成立,

(x−x1)(x−x2)=x2+bax+ca=0;

这样就得到了如下的根与系数的关系,也就是我们熟悉的韦达定理,

x1+x2=−ba,x1x2=ca;

然后我们再构造出 x1−x2 就可以联立 x1+x2 解出两根了

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2=b2a2−4ca

⇒x1−x2=±b2−4aca;

从而得到 x1,x2=−b±b2−4ac2a。

3、 一元三次方程:

形如 ax3+bx2+cx+d=0 的方程,这是一元三次方程的一般形式。还是两边同时除以 a ,把三次项的系数化为1。为了后面推导方便,将这个方程记为 x3+ax2+bx+c=0 ,注意这里的 a,b,c 与一般形式方程中的 a,b,c 是不同的。

带入 x=y−a3 ,

(y−a3)3+a(y−a3)2+b(y−a3)+c=0

⇒y3+(b−a23)y+2a327−ab3+c=0;

我们得到了一个关于 y 的不含二次项的三次方程。

同样为了简便,将其记为 y3+py=q;

1650年,荷兰数学家赫德给出了如下解法,他巧妙地利用了和立方公式

和立方公式 (m+n)3=m3+n3+3mn(m+n);

将 m+n 看作 y , 3mn 看作 −p , m3+n3 看作 q ,正好是上面方程的形式。

这样我们可以选取任意的两个数 m,n ,使得关于 y 的三次方程的根满足 y=m+n ,这样如果能解出 m,n ,就能求出方程的根。将 y=m+n 带入上面的方程

(m+n)3+p(m+n)=q

⇒m3+n3+3mn(m+n)+p(m+n)=q

⇒(p+3mn)(m+n)=q−(m3+n3);

由于 m 和 n 是任意选取的,不妨令上式左右两边都等于0,

得到 mn=−p3,m3+n3=q ,

现在我们有了 m3+n3 ,再构造出 m3−n3 就可以求出 m3 和 n3 了,跟解一元二次方程时构造 x1−x2 的方法是一样的:

(m3−n3)2=(m3+n3)2−4m3n3=q2+4p327,

于是 m3=q2±q24+p327,n3=q2∓q24+p327,

因此 y=m+n=q2+q24+p3273+q2−q24+p3273。

然而这才一个根,另外两个根丢在哪了呢?

实际上是在给 m,n 开三次方的时候丢掉了。

我们来考虑这个方程 x3=1 ,根据代数学基本定理,它应该有3个根。

x3−1=0⇒(x−1)(x2+x+1)=0,

所以其中一个根是 x=1 ,另外两个根是 x=−1±3i,

一般记 ω=−1+3i2 ,则 ω2=−1−3i2,

所以方程 x3=1 的根应该是 x=1,ω,ω2,

这样我们就能得出方程 y3+py=q 的三个根了,

分别是 y1=m+n,y2=mω+nω2,y3=mω2+nω,

最后把 m,n,ω 通通代入,再把 p,q 替换成 a,b,c 的表达式,

我们就得到了形如 x3+ax2+bx+c=0 的三次方程的求根公式。

4、 一元四次方程:

为了方便,我们直接考虑形如 x4+ax3+bx2+cx+d=0 的四次方程。

代入 x=y−a4 ,可以得到一个不含三次项的四次方程,

将其记为 y4+py2+qy+r=0,

1637年,笛卡尔给出了如下方法,将这个四次方程拆成两个二次方程,

(y2+ky+l)(y2+my+n)=y4+py2+qy+r=0,

这样只要将 k,l,m,n 通过 p,q,r 表示出来,再解两个二次方程就可以得到四次方程的根。

将左边展开 y4+(m+k)y3+(km+n+l)y2+(kn+lm)y+ln=0,

对比等式两边系数,可以得到如下4个等式,

m=−k

km+n+l=p⇒n+l=p+k2

kn+lm=q⇒n−l=qk

ln=r。

通过2、3两个等式可以得到 2n=k2+p+qk,2l=k2+p−qk,

代入第4个等式,整理后可以得到

k6+2pk4+(p2−4r)k2−q2=0,

这是一个关于 k2 的三次方程,解出 k2 取其实数根,然后可以得到 k ,进而得到 l,m,n,

最后解两个二次方程即可,每个方程两个根。



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