Question

一道初中数学题，求解，有过程及解析者优先考虑采纳，谢谢。

已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3，过原点O作∠AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DE⊥DC，交OA于点E。

（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式：

（2）将∠EDC绕点D按顺时针旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交点于G.如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为5/6，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由 ：

（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点O，使得直线GO与AB的交点P与点 C、G构成的△PCG是等腰三角形？若存在，请求出点O的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）
已知A（0,2），B（3,2），C（3,0）

∵OD为∠AOC的平分线
∴∠AOD=45°
∴AD=AO=2，BD=1
∴D（2,2）

∵∠ADE与∠AED互余，∠ADE与∠BDC互余，∠A=∠B=90°
∴△ADE与△BCD相似
∴AE/AD=BD/BC → AE=BD/BC·AD=1/2*2=1
∴E（0,1）

将C、D、E坐标代入抛物线一般式，得三元一次方程
9a+3b+c=0
4a+2b+c=2
c=1
解得：a=-5/6，b=13/6
因此抛物线解析式为y=-5/6x²+13/6x+1

（2）
巧妙的方法没想出来，只能死磕了
先用D、M的坐标求直线解析式，代入x=0求得F的纵坐标
由于DG⊥DM，直线DG的k值与DM的k值乘积为-1，以此求出直线DG的k值
再代入D点坐标求b值得到直线DG的解析式，代入y=0得到G的横坐标
然后用EF和GO的长度比

（3）
没想到，我要去上课了，闪……