Question

如图所示，已知三角形ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，ED，求证：CE=DE。

如图所示，已知三角形ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，并且使AE=BD，连接CE，ED，求证：CE=DE。

Answer 1

证明：延长BD到F使DF=BC，
因为等边三角形ABC，
所以AB=BC，且∠B=60°
所以AB=DF
因为AE=BD，
所以BE=BF
所以三角形BEF为等边三角形
所以BE=EF,且∠B=∠F=60°
因为BC=DF
所以三角形BCE全等于三角形EDF
所以CE=DE

Answer 2

证明：延长BD到F使DF=BC，因为等边三角形ABC，所以AB=BC，且∠B=60°所以AB=DF因为AE=BD，所以BE=BF所以三角形BEF为等边三角形所以BE=EF,且∠B=∠F=60°因为BC=DF所以三角形BCE全等于三角形EDF所以CE=DE

Answer 3

设BC=AB=AC=a,CD=b,BD=a+b,BE=AB+AE=AB+BD=a+b+a=2a+b
∵cosB=BE^2+BC^2-EC^2/2×BC×BE=1/2

∴EC^2=BE^2+BC^2-BC×BE=3a^2+b^2+3ab

同理可得ED^2=BE^2+BD^2-BE×BD=3a^2+b^2+3ab

∴ED^2=EC^2(ED＞0,EC＞0)

∴ED=EC