Question

三棱锥外接球的半径公式是什么？

Answer 1

三棱锥外接球的半径公式可以通过以下步骤推导得到：

1. 三棱锥外接球的球心是三棱锥的垂心。垂心是三条高线的交点，它可以通过求解三角形高线的交点找到。
2. 找到三棱锥的底面三角形，在该三角形中，由于三棱锥外接球是底面三角形的外接圆，因此垂心到三角形三个顶点的距离相等，即垂心到三角形三个顶点的距离等于外接球的半径。
3. 计算底面三角形任意一边的中线长度（等于该边的一半），并用该长度作为垂心到该边的距离。
4. 根据勾股定理，底面三角形两条边的长度和底边长的关系为 a^2 + b^2 = c^2 ，其中a、b、c分别为底面三角形两条边和底边的长度。
5. 由底面三角形的中线长度和勾股定理可以得到垂心到底边的距离 d = sqrt(a^2 + m^2)，其中m为底边的中线长度。
6. 由垂心到顶点的距离等于外接球的半径，以及垂心到底边的距离可以得到外接球的半径 R = sqrt(r^2 + d^2)，其中r为底边的中线长度。

综上所述，三棱锥外接球的半径公式为 R = sqrt(r^2 + (sqrt(a^2 + m^2))^2) ，其中r为底边的中线长度，a和b为底边两条边的长度，m为底边的中线长度。