Question

已知函数f(x)=2x-a, g(x)=x^2+1. G(x)=f(x)/g(x), H(x)=f(x)·g(x)

(1) 当x∈[-1,1]，求使G(x)<a恒成立的a的取值范围；
(2) 设方程3x^2-ax+1=0的两根为α,β(α<β)，且函数H(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差是8，求a的值

哪位好心人能帮忙解答一下？不胜感激！（要详细过程噢）

Answer 1

1）
(2x-a)/(x^2+1)<a

ax^2-2x+2a>0 在[-1,1]上恒成立

令f(x)=ax^2-2x+2a>0 f(0)=2a>0

所以 a>0

对称轴x=1/a
1/a》1 即 0<a《1

f(1)>0 a>2/3

所以 2/3<a《1
如果0<1/a<1 即 a>1
△<0 a>1
综上：a>2/3

2）3x^2-ax+1=0的两根为α,β
那么α+β=a/3
αβ=1/3
α^2+β^2=a^2/9-2/3
α-β=-根号（a^2/9-4/3）
如果a>0
那么两个根都是正数
显然在[α,β]上单调增
根据题意知道（2α-a）（α²+1）+8=（2β-a）（β²+1）
2α^3-aα^2+2α-a=2β^3-aβ^2+2β-a
2（α^3-β^3）-a(α^2-β^2)+2(α-β)=0
α-β不为0
所以2α^2+2β^2+2αβ-a(α^2-β^2)+2=0

把α+β=a/3
αβ=1/3
α^2+β^2=a^2/9-2/3
α-β=-根号（a^2/9-4/3）
代入就可以解到a
同理考虑a<0的情况
解方程有点复杂……

Answer 2

1、G(x)<a 等价于ax^2-2x+2a＞0，
当a＞0时，二次函数y=ax^2-2x+2a对称轴在X=1/a,要使ax^2-2x+2a＞0
只需y（x=1）=3a-2＞0且1＞1/a解得a＞1
2、α+β=a/3,αβ=1/3 H'(x)=f'(x)·g(x)+ f(x)·g'(x)=2x^2+2+2x(2x-a)=6x^2-2ax+2,令H'(x)=0解得驻点α,β(α<β) α是极大值点,β是极小值点
H(α)=(2α-a)(α^2+1),H(β)=(2β-a)(β^2+1),
H(α)-H(β)=(2α-a)(α^2+1)-(2β-a)(β^2+1)
=-(α+3β)(α^2+1)+(3α+β)(β^2+1)=8
-(α+3β)(α^2+1)+(3α+β)(β^2+1)=-(α^3-β^3)-2α+2β+3α-3β=(β-α)^3=8
β-α=2,α+β=4/sqrt(3),a=4sqrt(3).

Answer 3

1）、G(x)=f(x)/g(x)=（2x-a）/（x^2+1)<a恒成立
则[（2x-a）-a（x^2+1)]/(x^2+1)<0

x^2+1>0,

所以-ax^2+2x-2a<0

ax^2-2x+2a>0，x恒成立

所以，a>0,且delta=4-4*a*2a<0

所以，a>√2/2
即a的取值范围是（√2/2，+∞）

2）、
H(x)=f(x)·g(x)=（2x-a）（x^2+1)=2x^3-ax^2+2x-a
H'(x)=6x^2-2ax+2,得x=〔a+√（a^2-12）〕/6或x=〔a-√（a^2-12）〕/6

两驻点正好是方程方程3x^2-ax+1=0的两根为α,β(α<β)，
所以β=〔a+√（a^2-12）〕/6，
α=〔a-√（a^2-12）〕/6

α+β=a/3,αβ=1/3

而且可判断出在[α,β]是单调递减的，
x=α时，H（x）极大值为H（α），也就是[α,β]内的最大值，
x=β时，H（x）极小值为H（β），也就是[α,β]内的最小值，

所以H（α）-H（β）=〔2α^3-aα^2+2α-a〕-〔2β^3-aβ^2+2β-a〕

=2（α^3-β^3）-a（α^2-β^2）+2（α-β）

=（α-β）〔2（α^2+αβ+β^2)-a(α+β)+2]

=（α-β）〔2（α^2+αβ+β^2)-a(α+β)+2]

=-√[(α+β)^2-4αβ] [2(α+β)^2-2αβ-a(α+β)+2]=8

得a=4√3（a=-4√3不取）

最后一步计算比较烦一点，希望对你有所帮助