Question

已知函数f(x)=2x-a, g(x)=x^2+1. G(x)=f(x)/g(x), H(x)=f(x)·g(x)

(1) 当x∈[-1,1]，求使G(x)<a恒成立的a的取值范围；
(2) 设方程3x^2-ax+1=0的两根为α,β(α<β)，且函数H(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差是8，求a的值

麻烦大家想想了，要今天回答，答好加分啊

Answer 1

解：（1）、G(x)<a，即（2x-a)/(x^2+1)<a
ax^2-2x+2a>0, 则a>0
判别式=4-8a^2<0,即a^2>1/2，a>2分之根号2
G(x)<a恒成立的a的取值范围是（a>2分之根号2，正无穷）
（2）、H（x)=(2x-a)(x^2+1)
f(x)是线性增函数，g(x)在x>0时是增函数，在x<0时也是增函数
所以G（x)是增函数。
函数H(x)在区间[α,β]上的最大值与最小值之差是8。
则（2β-a)(β^2+1)-(2α-a)(α^2+1)=8
2(β^3-α^3)+2((β-α)-a((β^-α^2)=8
((β-α)[2((β^2+αβ+β^2)+2-a(β+α)]=8
方程3x^2-ax+1=0的两根为α,β(α<β)，
β+α=a/3,αβ=1/3
则β^2+β^2=a^2/9-2/3
β-α=根号(a^2/9-4/3)
代入上式得：
根号(a^2/9-4/3)*[-(a^2/9-4/3)]=8

Answer 2

1）
(2x-a)/(x^2+1)<a

ax^2-2x+2a>0 在[-1,1]上恒成立

令f(x)=ax^2-2x+2a>0 f(0)=2a>0

所以 a>0

对称轴x=1/a
1/a》1 即 0<a《1

f(1)>0 a>2/3

所以 2/3<a《1
如果0<1/a<1 即 a>1
△<0 a>1
综上：a>2/3

2）3x^2-ax+1=0的两根为α,β
那么α+β=a/3
αβ=1/3
α^2+β^2=a^2/9-2/3
α-β=-根号（a^2/9-4/3）
如果a>0
那么两个根都是正数
显然在[α,β]上单调增
根据题意知道（2α-a）（α²+1）+8=（2β-a）（β²+1）
2α^3-aα^2+2α-a=2β^3-aβ^2+2β-a
2（α^3-β^3）-a(α^2-β^2)+2(α-β)=0
α-β不为0
所以2α^2+2β^2+2αβ-a(α^2-β^2)+2=0

把α+β=a/3
αβ=1/3
α^2+β^2=a^2/9-2/3
α-β=-根号（a^2/9-4/3）
代入就可以解到a
同理考虑a<0的情况

追问

你是复制的别人的回答，就是因为这个版本的看不懂才重复问的

Answer 3

wuliao