Question

数学 解析几何

过抛物线y^2=4x的焦点F引弦AB（其中A点在X轴的上方） （1）若弦AB垂直于抛物线的对称轴 求OA向量点乘OB向量的值
（2）已知AF向量=pFB向量，试用用p表示A点的坐标
（3）在（2）的条件下，若p属于[2，3] ，求直线AB的斜LU K 的取值范围

Answer 1

1.F(1,0) A(1.2) B(1,-2) OA*OB=1-4=-3

2.A(p,2√P)

3.K=2√P/（P-1）
=2/（√P-1/√P)
分母的范围是 [√2/2，2√3/3]
故 K属于[√3,2√2]

2.3两问过程如下：
让我们先来画一个抛物线，标好F，A,B，作出准线L,（AB的斜率最好为正，这样好画图，为负也不要紧的，只不过图难看点）
然后，我们来作两条神奇的辅助线，它们是
过A引准线L的垂线AH垂足为H
过B引准线L的垂线BG垂足为G
然后，我们应用能帮我们省去大量计算的第二定义，AF=AH FB=BG
再作一条名叫“成功”的辅助线：过B引AH的垂线BB'，垂足为B'
然后开始烦人的计算：设∠BAB'为A，则斜率K=tanA
cosA=B'A/BA
=(AH-BG)/BA
=(P-1)FB/(P+1)FB
=(P-1)/(P+1)
所以 sinA=2√P/（P+1）
tanA=2√P/（P-1） K=tanA=2√P/（P-1）第三问的战斗基本结束
下面求解（2）问：
来，我们再一次欢迎辅助线老朋友出场：过A引x轴的垂线AA'，垂足A'
设准线L交X轴于M,BB'交X轴于N

下面是最关键的计算：
2=MF=MN+NF 这个MN好算，MN=BG=BF,但这个NF有点难,看出来了吗？NF=BFcosA

OK了！ 2=MF=BF(1+cosA)=2pBF/(p+1)=2AF/(p+1), 故AF=P+1
一切迎刃而解， 设A(x,y)，则 x=OA'=OF+FAcosA=p y=AA'=AFsinA=2√P

所以 A(p.2√P)，第二问解答完毕
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PS：凡是已知焦点分焦点弦所得的比例（本题中是P），要我们求焦点弦的斜率取值范围的题目，本题方法通用
再来总结一下吧：
1.首先画曲线，作好焦点弦AB（斜率为正），作准线L,L交X轴于N
2.然后过A.B两端点作L的垂线
3.之后做BB'，求cosA
4.最后通过FN求出FA
你会立刻发现，对于掌握这种方法的同学来讲，解析几何就等同于三年级的算术！
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我要加分！！！！！！！