Question

为什么列矩阵乘行向量是一个矩阵？

Answer 1

当进行列向量乘于行向量的运算时，需要注意两个向量的维度要匹配。

假设有一个列向量 A，维度为 (m, 1)，其中 m 为 A 的行数，以及一个行向量 B，维度为 (1, n)，其中 n 为 B 的列数。

列向量 A 乘于行向量 B，结果矩阵的维度为 (m, n)，即新矩阵的行数等于列向量 A 的行数，列数等于行向量 B 的列数。

具体计算方法如下：
将列向量 A 按照列的形式复制 n 次，构成一个 (m, n) 的矩阵 A'；
将行向量 B 按照行的形式复制 m 次，构成一个 (m, n) 的矩阵 B'；
对应位置上两个矩阵 A' 和 B' 中的元素进行乘法运算；
对每行元素求和，得到结果矩阵 C。

数学表示如下：
如果 A 的维度为 (m, 1)，B 的维度为 (1, n)，则结果矩阵 C 的维度为 (m, n)。

C(i, j) = A(i, 1) * B(1, j)，其中 1 ≤ i ≤ m，1 ≤ j ≤ n。

注意，列向量乘于行向量的运算结果为一个矩阵，不再是向量。