Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c),m是方程f(x)=-a的实根,且f(1)=0 (1)试推论f(x)在区间[0,正无穷大)

是否为单调函数，并说明理由.
(2)设g(x)=f(x)+bx,对于x1,x2∈R,且x1≠x2,若g(x1)=g(x2)=0,求|x1-x2|的取值范围
(3)判断f(m+3)的符号,并加以证明
分不够可以加.

Answer 1

解：（1）f(1)=0，得a+b+c=0，
方程f(x)=-a有实根，则ax^2+bx+c+a=0的德尔塔>=0，
即b^2-4a(a+c)=[-(a+c)]^2-4a(a+c)=(a+c)(c-3a)>=0
而a>b>c,则c-3a<0,故a+c<0,又a-c>0,得c<0,
又b=-(a+c),若a<0,则b>0,即b>a,与已知相反，故，a>0
德尔塔=b^2-4a(a+c)=b^2-4a(-b)=b^2+4ab =b(b+4a)>=0
显然b+4a>0，那么b也只能>=0了，即b>=0.
所以 函数对称轴x=-b/2a<=0，又函数开口向上，所以在[0,正无穷）上单调递增
（2）由题意知，x1.x2是方程ax^2+2bx+c=0的两根，
所以x1+x2=-2b/a,x1*x2=c/a,
所以（|x1-x2x|）^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=(4b^2-4ac)/(a^2)
=[4b^2+4a(a+b)]/(a^2)
=4+4(b/a)^2+4b/a
<4+4+4=12(因为a>b,a>0,b>=0，故b/a<1)
所以0<|x1-x2x|<2√3。
（3）若f(m+3)=a(m+3)^2+b(m+3)-(a+b)=(m+2)[a(m+4)+b]>0
只需证m+2>0即可
对于ax^2+bx+c+a=0即ax^2+bx-b=0,m为其一个根，
则m=-b/2a+√[b^2/(4a^2)+b/a](较大)或m=-b/2a-√[b^2/(4a^2)+b/a]（较小）
只需证较小的根m+2>0即可
而较小的m+2=-b/2a-√[b^2/(4a^2)+b/a]+2>-1/2-√(1/4+1)+2=-(1+√5)/2+2
=（3-√5）/2>0
故m+2>0成立
所以f(m+3)>0.证毕。

Answer 2

(1)函数f(x)=ax^2+bx+c(a>b>c)
∵f(1)=0,即a+b+c=0,又a>b>c,∴a>0
B+c<0==>c<0
∵m是方程f(x)=-a的实根
ax^2+bx+a+c=0，⊿=b^2-4a(a+c)=b^2+4ab=b(b+4a)>=0
∵4a+b>0,∴b>=0
f’(x)=2ax+b>0
∴f(x)在区间[0,+ ∞)上为单调增函数。
(2) g(x)=ax^2+2bx+c
由韦达定理知
X1+x2=-2b/a, x1x2=c/a
(X1-x2)^2=(X1+x2)^2-4x1x2=4b^2/a^2-4c/a
∵c=-(a+b)
∴(X1-x2)^2=4b^2/a^2+4(a+b)/a=4[(b/a)^2+(b/a)+1]
∴|X1-x2|=2√[(b/a)^2+(b/a)+1]
∵0<b/a<1
∴2<|X1-x2|<2√3
(3)由题意知f(m)=-a
f(m+3)=a(m+3)^2+b(m+3)+c= a(m)^2+b(m)-(a+b)=(m+2)[a(m+4)+b]
由（1）知m=[-b±√(b(b+4a))]/(2a)
取m=[-b-√(b(b+4a))]/(2a)
m+2=[-b-√(b^2+4ab)]/(2a)=-b/2a-√(b^2/4a^2+b/a)
∵0<b/a<1
m+2<-1/2-√(1/4+1)+2>0
∴a(m+4)+b>0
∴ f(m+3)>0

Answer 3

(1)∵f(1)=a+b+c=0,a>b>c
∴a+b+c=0>3c,c<0
a+b+c=0<3a,a>0
∵m是方程f(x)=-a的实根，即ax²+bx+c=-a有实根
ax²+bx+c+a=0 ∴△=b²-4a(c+a)=(a+c)²-4ac-4a²≥0
化简得 c²-2ac-3a²≥0 (c/a) ²-2c/a-3≥0
解得c/a≥3或c/a≤-1
∵c<0,a>0 ∴c/a≥3不可能，只能有c/a≤-1，即c+a≤0
∵a+b+c=0, ∴b=-(a+c)≥0
从而函数f(x)的开口向上，对称轴x=-b/(2a)≤0
故f(x)在[0,+ ∞）上递增。
(2)g(x)=f(x)+bx=ax²+2bx+c=0,
其判别式△=4b²-4ac=4(a+c)²-4ac=4(a²+ac+c²)=4((a+c/2)²+3/4c²)恒大于0.
|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=(-2b/a)²-4c/a=4(a+c)²/a²-4c/a=4(a²+ac+c²)/a²
=4((c/a+1/2)²+3/4) =4(c/a+1/2)²+3
∵a+b+c=0,a>b>c
∴a+b+c=0>a+c+c=+2c, c/a<-1/2
a+b+c=0<a+a+c=2a+c, c/a>-2
又由(1)知c/a≤-1 ∴-2< c/a≤-1
设c/a=t,即-2<t≤-1
则|x1-x2|²=4(t+1/2)²+3
这是一个关于t的二次函数，其开口向上，对称轴t=-1/2,
-2<t≤-1时是减函数
∴4≤|x1-x2|²<12, 2≤|x1-x2|<2√3
(3)令f(x)= ax²+bx+c=0
∵f(1)=0，1是它的一个根，
由韦达定理知，它的另一个根式c/a.
∵m是方程f(x)=-a的根，即f(m)=-a<0
∴m介于方程f(x)=0的两根c/a与1之间
而由（2）知：-2< c/a≤-1
∴m+3必定大于1
∵f(1)=0 ∴f(m+3)>0.

Answer 4

(1)由f(x)有实根=>b^2-4a(c+a)>=0又f(1)=0 =>a+b+c=0
又a>b>c => a>0,C<0. b^2+4ab>=0和a+b+c=0 =>b>=0
又f的导数为 2ax+b当x>=0时 2ax+b>=0所以f(x)在区间[0,正无穷大)
上单调增
(2)g(x)=ax^2+2bx-b-a ,则|x1-x2|=2根号(4b^2+4a(a+b))/2a 化简得
|x1-x2|=2根号((b/a)^2+b/a+1)由于0=<b/a<1,x1≠x2所以 2<=|x1-x2|<2根号3
(3)设x1,x2为方程的两根则0<|x1-x2|=2根号(b^2+4a(a+b))/2a <2根号(1/4+2)<3
由f（m）=-a<0得 min（x1，x2）<m<max(x1,x2) 所以 m+3>max(x1,x2),显然有由二元一次方程的性质可得f（m+3）〉0