Question

已知2次函数f(x)=ax²+x.对于|f(x)|≤1成立,求实数a的范围。

对于任意数x属于[0，1]

Answer 1

楼主打漏条件了，对于什么范围中的x使得|f(x)|≤1成立？

解：
f(x)=a[x+1/(2a)]²-1/(4a)
(1) a=0,f(x)=x,则x∈[0,1],|f(x)|=|x|≤1显然成立；
(2) a≠0,对称轴 -1/(2a) 不在[0,1]上，即-1/(2a)＜0 或 -1/(2a)＞1
得 a＞0,或 -1/2＜a＜0
此时f(x)的最小值和最大值就是两个端点，有
|f(0)|≤1,|f(1)|≤1
0≤1,|a+1|≤1,解得 -2≤a≤0
∴ -1/2＜a＜0
(3) a≠0,对称轴在[0,1]上，即 0≤-1/(2a)≤1,a≤-1/2
此时f(x)的最值在两个端点和一个顶点上，有
|f(0)|≤1,|f(1)|≤1,|-1/(4a)|≤1
0≤1,|a+1|≤1,|a|≥1/4
∴ -2≤a≤-1/2

综上所述，a∈[-2,0]