Question

已知函数f(x)=4x的平方-kx-8在[5,20]上具有单调性，求实数k的取值范围？

Answer 1

实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞)
解题步骤：
方法一：f(x)=4x²-kx-8
图象是开口向上的抛物线，对称轴方程是x=k/8
要使函数在[5,20]上具有单调性，则对称轴不能落在区间(5,20)内
k/8≤5或k/8≥20
k≤40或k≥160
实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞)
这是网上的答案，从正面直接解题，可以说是学生普遍使用的“通法”。当然，这个问题解法不一，如果上了高中，学了导数从正面解题就能可以简单一点。
方法二：∵f(x)=4x²-kx-8在[5,20]上具有单调性 f(x)’=8x-k
∴f(x)’≤0或f(x)’≥0在[5,20]上恒成立
∴k≤40或k≥160
这是运用了导数的解法，几步解决。主要的是将二次函数问题将为最简单的一次函数问题。当然，最简单快捷的是利用导数知识从反面解，如下。
方法三：假设f(x)=4x²-kx-8在[5,20]上没有单调性，则函数f(x)在[5,20]上有极点
∵f(x)’=8x-k
令f(x)’=8x-k=0 得k=8x
∴40＜k＜160
∴要使函数在[5,20]上具有单调性，实数k的取值范围是(-∞,40]∪[160,+∞)