Question

两道数学题.谢谢

1。已知抛物线的顶点坐标为（3，-2）,且抛物线与x轴两交点间的距离为4,试求该抛物线的解析式
2。已知y关于x的函数关系式为y=（a²-1）x²-2（a+1）x+2,求该函数的图像与x轴恰有一个交点.试求a的取值情况.

Answer 1

1、解：顶点坐标为（3，-2）则y=a(x-3)^2-2

抛物线与x轴两交点间的距离为4

则方程a(x-3)^2-2=0的解x1 x2 绝对值（x1-x2)=4

（x1+x2)^2-4x1x2=(x1-x2)^2=16

[-(-6a)/a]^2-4(9a-2)/a=16 a=0.5

所以y=a(x-3)^2-2=1/2*（x-3)^2-2

2、y=（a²-1）x²-2（a+1）x+2,求该函数的图像与x轴恰有一个交点

当（a²-1）=0时，a=1,y=-4x+2恰有一个交点

a=-1,y=2 不成立

当（a²-1）≠0时恰有一个交点

则方程（a²-1）x²-2（a+1）x+2=0的解x1=x2

△=0=4(a+1)^2-4（a²-1）*2=0

(a-3)(a+1)=0 a=3

所以 a=1或a=3

Answer 2

设抛物线为y=ax^2+bx+c 根据顶点式（-b/2a,(2ac-b^2)/4a）将顶点（3，-2）带入 其中得：
b=-6a
c=6+18
带入抛物线
y=ax^2-6ax+6+18a
设抛物线交x轴与（x，0），（x+4，0）带入抛物线得
y=ax^2-6ax+6+18a ①
y=a（x+4）^2-6a（x+4）+6+18a ②
②-①得
x=-3/2
（-3/2,0）带入①求出a
得抛物线

算术可能有误 但过程是对的

图像与x轴有一个焦点 则b^2-4ac=0
求得a=3或a=-1
当a^2-1=0时为直线 与x轴有一个焦点 a=1或-1
当a=-1时不成立
因此 a=1,3