Question

已知a，b，c为正实数，用综合法证明 2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 1

即2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)

因为a^3+b^3==(a+b)(a^2-ab+b^2)
又 a^2+b^2≥2ab
所以a^3+b^3≥ab(a+b)
a^3+c^3≥ac(a+c)
b^3+c^3≥bc(b+c)

所以2(a^3+b^3+c^3)≥ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)成立

方法二：
a^3+a^3+b^3>=3a^2b
a^3+a^3+c^3>=3a^2c
b^3+b^3+a^3>=3b^2a
b^3+b^3+c^3>=3b^2c
c^3+c^3+a^3>=3c^2a
c^3+c^3+b^3>=3c^2b
各式相加得到
6(a^3+b^3+c^3)>=3(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b)
所以2(a^3+b^3+c^3)>=a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b
=a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

方法三：

2(a^3+b^3+c^3)-[a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)]
=a^2(a-b)+a^2(a-c)+b^2(b-c)+b^2(b-a)+c^2(c-a)+c^2(c-b)
=(a^2-b^2)(a-b)+(c^2-a^2)(c-a)+(b^2-c^2)(b-c)
=(a+b)(a-b)^2+(c+a)(c-a)^2+(b+c)(b-c)^2≥0

=>：2(a^3+b^3+c^3)≥a^2(b+c)+b^2(a+c)+c^2(a+b)

Answer 2

证明：
a>0,b>0
a+b>0,
(a-b)^2>=0
(a+b)(a-b)^2>=0
(a^2-b^2)(a-b)>=0
a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0
a^3+b^3>=ba^2+ab^2
同理
b^3+c^3>=cb^2+bc^2,
c^3+a^3>=ac^2+ca^2
三同向的不等式的两边相加得到
2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b
即2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2