Question

无限个无穷小的乘积是无穷小吗

Answer 1

两个无穷小的乘积是无穷小，所以无限个无穷小的乘积是无穷小。

反例如下： 

设函数fn(x)=1 (0≤x≤n-1) 

fn(x)=x^(n-1) (n-1＜x≤n, n=1,2,3,…) 

fn(x)=1/x (n≤x＜+∞) 

则当n→+∞时，对每一个自然数n都有fn(x)→0，即fn(x)是无穷小量。但它们的积为f(x)=∏(1，∞)fn(x)=1，(0＜x＜+∞)

当x→+∞时，函数f(x)也不是无穷小量。所以无穷个无穷小的乘积不一定是无穷小。

扩展资料：

1、无穷小量不是一个数，它是一个变量。

2、零可以作为无穷小量的唯一一个常量。

3、无穷小量与自变量的趋势相关。

4、有限个无穷小量之和仍是无穷小量。 

5、有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

6、有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

7、特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

参考资料来源:百度百科-无穷小量

Answer 2

你之所以无法理解为何无限个无穷小乘积不一定是无穷小是因为你没搞清这两点

1.无穷小不是一个数，而是在某个微小邻域内极限值为0的函数

2.无限个无穷小，不是很多个无穷小，很多个到无穷个是量变到质变的过程。

参考有限个无穷小之积仍然是无穷小的证明，可以发现，当从有限到无限的时候，我们无法对α进行定义，故而也找不到符合条件的邻域使得无穷个无穷小乘积为无穷小成立。

你也可以这样理解，这无穷个无穷小中并不全是同阶的无穷小，而无穷小的阶表征了无穷小趋近于0的快慢，故而在任意时刻，都会存在无穷多个无穷小还没来得及达到0，故而总乘积也不一定是无穷小。

Answer 3

无限个无穷小的乘积是无穷小——不对！！！应视情况而定。可以是无穷小，可以是无穷大，也可以是某一实数。

Answer 4

高数上肯定是

Answer 5

是的