Question

已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分，谢谢、

已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x
若a=b=-3，求f(x)的单调区间
若f(x)在(-∞，α），（2，β）上单调增加，在（α，2），（β，+∞）上单调减少，证明：β-α>6

Answer 1

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Answer 2

(1)∵函数f(x)=(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)
F’(x)=(3x^2+6x-3)e^(-x)-(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)
=(-x^3+9x)e^(-x)=0
解得：x1=-3,x2=0,x3=3
F”(x)=( x^3-3x^2-9x+9)e^(-x)
F”(x1)=-18 e^3<0, F”(x2)=9>0, F”(x3)=-18e^(-3)
∴函数f(x)在x1,x2,x3处分别取得极大，极小，极大值
∴函数f(x) 在(-∞,-3)，(0,3)上单调增；在（-3,0），(3,+∞)单调减；
（2）∵函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^(-x)
F’(x)=(3x^2+6x+a-x^3-3x^2-ax-b)e^(-x)
=(-x^3+(6-a)x+a-b)e^(-x)
∵函数f(x)在(-∞，α），（2，β）上单调增加，在（α，2），（β，+∞）上单调减少
∴x=2为函数f(x)的一个极小值点
即f’(2)=(-8+12-2a+a-b)e^(-2)=0==>a+b=4
∴b=4-a
代入-x^3+(6-a)x+a-b＝-x^3+(6-a)x+2a-4=(x-2)(-x^2-2x+2-a)
∴α,β满足-x^2-2x+2-a＝0==>x^2+2x+a-2＝0
由韦达定理知β+α=-2, βα=a-2
(β-α)^2=(β+α)^2- 4βα=12-4a
β-α=2√（3-a）
当a<-6,且a+b=4时满足β-α>6
所以，本题第二问有问题，即不是在任何时候都满足β-α>6

Answer 3

第一问：
(-∞,-3) (0,3)递增
（-3,0）(3,+∞)递减
第二问：
由题可知：f'(x)=-x^3+(6-a)x+a-b
f’(2）=0
所以: α和β 满足 x^2+2x+（2-a）=0
由上式：α+β=-2
又因为： β>2
所以 β-α>6

Answer 4

补充楼上， β-α=根号 12-4a

又(β-2)(α-2)＜0,即αβ-2(α+β)+4＜0.由此可得a＜-6.

于是β-α＞6.
所以该题没有问题。。。