Question

在平面直角坐标系xoy中 已知抛物线y^2=2px 横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5

1.求该抛物线的标准方程
2.设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，求证。圆C过定点

Answer 1

(1)准线方程是y=-p/2
利用抛物线的定义
到准线的距离等于到焦点的距离
4-（-p/2）=5
p=2
所以抛物线的标准方程y²=4x
(2):设C(m ,n) 则 有n^2=4m 式一 又由题圆的半径平方为 m^2+4 所以 圆可以表示为 (x-m)^2+(y-n)^2=m^2+4 式二 将式一带入式二 消去m 的 (1- x/2)n^2-2yn+x^2+y^2-4=0 使得 1-x/2=0 -2y=0 x^2+y^2-4=0 同时成立 得 x=2 y=0 所以圆C过定点 (2,0)

Answer 2

第一问好说，至于第二问，由于我这里没有草稿纸，只给你说一下思路吧……取两个合乎题意的圆，求出交点，然后证明或者排除。