Question

是否存在实数a，使得f(x)=log2[x+√（x^2+2)]-a为奇函数，同时使函数g(x)=x[1/(a^x-1)+a]为偶函数？

别粘贴那一个，我看不懂，在线等

Answer 1

你若是觉得看着眼花最好把下列过程写在纸上，那样会容易理解一些。。。

若f（x）为奇函数
则f(-x)=-f(x)
f(-x)=log2[-x+√（x^2+2)]-a

-f(x)
=-(log2[x+√（x^2+2)]-a)
=-log2[x+√（x^2+2)]+a
=log2[1/(x+√（x^2+2))]+a
=log2{[x-√（x^2+2)]/[x^2-（x^2+2)]}+a
=log2{(1/2)[-x+√（x^2+2)]}+a
=log2[-x+√（x^2+2)]+log2(（2）^(-1))+a
=log2[-x+√（x^2+2)])-1+a
若f(x)为奇函数，则有
log2[-x+√（x^2+2)]-a
=log2[-x+√（x^2+2)]-1+a
即-a=-1+a
解得a=1/2

当a=1/2时
对于偶函数g（x）应该有
g（-x）=g（x）

g（x）=x[1/((1/2)^x-1)+1/2]
=(1/2)x[（2+(1/2)^x-1）/[(1/2)^x-1]
=(1/2)x[(1/2)^x+1]/[(1/2)^x-1]
=(1/2)x(1+2^x)/(1-2^x)

g(-x)=-x[1/((1/2)^(-x)-1)+1/2]
=-x[1/(2^x-1)+1/2]
=x[-1/(2^x-1)-1/2]
=(1/2)x[(-2-(2^x-1))/(2^x-1)
=(1/2)x(1+2^x)/(1-2^x)

因此当a=1/2时
g(x)是偶函数
因此存在实数a=1/2，
使得f(x)=log2[x+√（x^2+2)]-a为奇函数，同时使函数g(x)=x[1/(a^x-1)+a]为偶函数